3.2.1简单的三角恒等变换 教学设计
发布者:卢理敬发布时间:2023-04-19 21:35:33阅读(95) 评论(0) 举报
3.2.1简单的三角恒等变换
教学设计
简单的三角恒等变换(第1课时)
一、教学内容解析
1.教材解析:
本节是人教版必修四第三章第二节简单的三角恒等变换的内容。本节主要包括两大板块:利用已有的十一个公式进行简单的三角变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.我们上第1课时,其内容都是用例题来展现的,例三例四属于应用,我们先上例一例二倍半角和和差角有关公式的推导。通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,运算角与角之间的和差倍半关系,促使学生形成对解题过程中如何选择公式从而加深理解变换思想,提高学生的推理,运算能力.并为下一个课时三角恒等变换的应用奠定基础。这一节课起到了承上启下的作用。
2.教材处理顺序
教材在这个内容的安排上是:
1:利用换元的思想推导出半角公式;
2:提出思考:代数式与三角变换有何不同?认识三角变换的特点。
3:推导积化和差公式。
4:用换元思想推导和差化积公式。
5.提出思考:能用其它方法证明(2)成立?
3.数学思想方法
本节内容蕴含了:换元思想、转化化归思想,方程的思想,类比思想、逆向思维等。
二、教学目标和重难点
教学重点:
1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.
2.学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点,提高推理运算能力
教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从整体上把握变换过程的能力.
三、学生学情分析
1.学生存在的难点
学生在接触题目时怎样利用角与角之间的和、差、倍、半关系,以及函数名的特点选择适当的公式进行恒等变换是做题的关键,也是难点。
四、教学策略分析
1.内容突破策略
设计预习学案,分散难点;
引导学生做题之前先观察角与角之间的和差倍半关系;
用换元的思想从已学公式出发推导,符合学生认知;
用方程的思想让学生更容易理解三角形式结构的变换。
2.启迪学生思维策略:
在教学方法的选择上,采用教师组织引导,学生动手实践、自主探究、合作交流的学习方式,力求体现教师的引导者、合作者的作用,突出学生的主体地位。
内容 | 设计意图 | 师生活动 | 思想指导 |
设计预习学案 | 1.能做好课前预习,有良好的学习习惯; 2.学生能先独立思考,提出质疑,发现问题 | ||
复习引入: 1. 二倍角公式 二倍角公式的逆用 | 1.强调二倍角公式的重要性 2.为例一结构形式变化做准备 | 师:问题1:你能用逆向思维反解公式,用倍角来表示单角吗? |
生:回答学案探究点一问题一 |
例一: 1. 引导做题切入点 ①的二倍 ②二倍角公式里有平方模型出现,联想cos2α 2,教法:①先换元后变换结构形式②先变换结构形式后换元 拓展:理解倍半的相对性 |
1.引导学生对变换对象目标进行对比、分析,明确思维起点 2.引导学生对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形 3引导学生对变换过程中体现的换 元、逆 向使用公式等数学思想方法的认识 |
师: 有什么样的关系? 结合二倍角公式里的平方模型应选择哪条公式解决问题?
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逆向思维 换元思想 的体现 |
半角公式 |
1.体会三角变换的特点 2.学习三角变换的主要内容:倍半角的变换 | 师:半角公式符号由哪个角确定? 从方程的角度看:要求sinα,cosα ,tanα三个未知数,只需化成求哪一个就好?cos2α |
方程思想 化归思想 的体现 |
思考:三角变换的特点
| 1.认识三角变换的特点 2.根据特点,使学生意识到做题的思维起点 是角的变换 | 师:代数式变换与三角变换有什么不同?
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类比学习 |
倍半角拓展应用: 1.已知cosθ=-5(3),且<θ<,求tan 2(θ);2.变式训练:已知sinθ=5(4)且2(5π)<θ<3π,求cos2(θ),tan2(θ)的值.
| 1. 这是通过应用理解三角变换公式及特点的练习; 2. 在学习了半角公式和课后练习1的背景下,有多种解法 3. 既是对新知识的应用,又可锻炼学生思维的开放性 | 师:你能发散思维用多种方法来求吗?生:讲思路 教师预设教学过程点拨: ①sinα,cosα,tanα三个数知一求二,看到cosα则可求sinα,tanα ②用课后练习tan 2(α)=1+cos α(sin α)这个式子求需证明后才能用。 ③用半角公式需注意符号的选择 |
学生自主完成, 教师分析可能出现的情况进行点拨 教师板书解题过程
④理解倍半的相对性由cosθ→ cos→sin →tan 2(θ)
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例二(1) 积化和差公式
| 1.体会三角变换的特点 2.学习三角变换的主要内容:和差角的变换 3.体味从方程的角度
解决三角变换问题的好处 | 生:完成学案探究二 师:1.提问:你有何思路(生:右式展开) 2.拓展分析哪些公式含有下列数学模型 sinα cosβ、cosα sinβ、 cosα cosβ、sinα sinβ、 sinα cosα 根据这些模型选择公式 3.补充用通过换元,用方程的角度来解决问题 |
方程思想 换元思想
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1.已知tan2(β)=5(4),tan-β(α)=-13(12), 求tan 2(α+β)的值. 2,变式训练:已知sin2(β)=5(4),cos-β(α)=-13(12),且α-2(β)和2(α)-β分别为第二、第三象限角,求tan 2(α+β)的值. | 1.这是通过应用理解三角变换公式及特点的练习; 2让学生学会做题先从观察角入手 3.学会构造角与角之间的关系(运算:和、差、倍、半、互余、互补等)
| 师: 1. 式子包含多少个角? 2. 你能构造已知角和未知角的关系吗? 3.变式与原式有何不同?变式要统一名。 | 用化归思想统一函数名 |
例一课后练习1: tan 2(α)=1+cos α(sin α)=sin α(1-cos α)
| 1. 体会三角恒等式的证明思路:包含①=②,①=③ ②=③三个等式,选两个出来证明 2. 理解倍半角公式 3. 多种思路体现思考性,发展学生分析问题的能力 4.提高推理运算能力
| 师:上式包含了多少个等式? 如果换成将2(α)→α证明方法一样吗? 你有多少种证法? 教师点拨: 证明思路; ①=②和①=③从2(α)→α扩角,分子需配凑二倍角公式; 证明原则:从繁到简 |
教具:投影仪 学生自主完成, 教师充分预设教学过程,分析可能出现的情况进行点拨 ①=②和①=③从α→2(α)缩角,只需用二倍角公式拆分即可:②=③注意强调分母不为0 |
总结: 1. 内容: 倍半角公式, 积化和差公式 和差化积公式 2. 特点: ①角变(和、差、倍、半的关系) ②名变:sin,cos,tan等 ③结构形式的变化 3. 思想: |
1.让学生明确这节课学习三角变换的内容、思路和方法, 2.变换从角开始,明确思维起点。 3.用数学思想指导变换. |
1.换元思想 2.方程思想 3.化归思想 4.逆向思维 5.类比思想
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作业: 1.习题A组1:(2)(4)(6)(8) 2.金版学案 |