14.3.2   一次函数与一元一次不等式

教学目标

1．理解一次函数与一元一次不等式的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次不等式的不解问题。

2．学习用函数的观点看待不等式的方法，初步形成全面的观点处理局部问题的思想。

3．经历不等式与函数关系的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想。

教学重点：一次函数与一元一次不等式的关系的理解。

教学难点：利用一次函数图象确定一元一次不等式的解集。

教学过程

一、复习引新读讨论

问题1：通过上节课的学习，我们已经知道，“解一元一次方程ax+b=0(a,b为常数)”与“当x为何值时，y=ax+b的值为0”是同一个问题，现我们来看看：

（1）以下两个问题是不是同一个问题？

①解不等式：2x -4＞0;

② 当x 为何值时，函数y=2x-4的值大于0？

（2）你如何利用图解来说明②？

师生对以上两个问题一起议论，一起得出结论。

（3）“解不等式2x-4＜0”可以与怎样的一次函数问题相统一的？怎样在图象上加以说明？

2x -4＞0的求解应该不成问题，当x为何值时，函数y=2x-4的值大于0的求解应视学生情况予以提示或板书，其中要特别提醒函数值指的是y值，由y＞0如何得到x的范围，靠解析式y=2x-4来实现过渡。

问题2：阅读讨论。

（1）让学生阅读教科书内容，读后分组讨论：你是如何思考书上提出的问题的？你是何理解书上最后一段的结论的？

（2）师生共同归纳：

由于任何一元一次不等式都可以转化为 ax+b＞0或 ax+b＜0（a,b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作；当一次函数的值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。

二、新知应用，小结反思

问题1：根据下列一次函数的图象（如图1），你能求出哪些不等式的解集？并直接写出相应不等式的解集。

           y                                                 y

              y=3x+6

   -2

         0    x                                            0       3     x

                                                              Y=-x+3

        （1）                                               （2）

    图1                                                  

对每一题都有能写出四种情况：（1）3x+6＞0,x＞-2;3x+6≥0,x≥-2;3x+6＜0,x＜-2;3x+6≤0,x≤-2.

（2）–x+3＞0,x＜3;-x+3≥0,x≤3;-x+3＜0, x＞3;-x+3≤0,x≥3.

让学生在充分理解的基础上，写出对应的x的取值范围，先小组内交流，然后反馈矫正。

问题2：如图2，利用­­­­­y=-x+5的图解，求出：                  y

(1)方程­-x+5=0的解；                                    5       

(2)不等式-x+5＞0的解集；                               0   2     x

(3) 不等式-x+5≤0的解集；                              （图2）

(4) 不等式-x+5＞5的解集；

(5)你还可以写出哪能方程式或不等式的解集？

解：由图象可以得出（1）方程-x+5=0,即y=0时，x=2；（2）不等式--x+5＞0，即y＞0时，x＜2；（3）不等式-x+5≤0，即y≤0时，x≥2;(4)不等式x+5＞5，即y＞5时，x＜0；（5）还可以写出-x+5≤5，-x+5≥5，-x+5＜5等。

问题3：通过以上分析和练习，请从数与形两个角度总结一下一元一次不等式与一次函数的关系。

   先让学生独立思考，然后交流各自看法。

从数的角看

从形解度看

对于其它情况，教师让学生口术，使其真正理解。

三、列题讲解

问题1：用画函数图象的方法解不等式5x+4＜2x+10。

给学生足够时间思考，解题。

方法1：分析：将不等式转化为一般形式，再画出对应的一次函数的图象，就是我们已会的求解了。

（解答过程参照教科书）

方法2：分析：

（1）       如果不将原不等式转化，能否用图象法解决呢？

（2）不等式两边都是一次函数的表达式，因而实际上是比较两个一次函数在z取相同值时谁大的问题。

（3）如何要图象上比较两个一次函数的大小呢？

（4）如何确定不等式的解集呢？

（解答过程参照教科书）

问题2：用画图象的方法解不等式2 x+1＞3x+4.

分析：（1）可将不等式化为-x-3＞0, 作出一直线y=-x-3，然后观察：自变量x取值时，图象上的点在x轴上方？

或（2）画出直线y=2x+1与y=3x+4,然后观察：对于哪些x的值，直线y=2x+1上的点在直线y-3x+4上相应的点的上方？

解：方法（1）：原不等式为：-x-3＞0,在直角坐标系中画出函数y=-x-3的图象（图3（1））。从图象可以看出，池x3＜-3时这条直线上的点在x轴上方，即这时y=-x-3＞0,因此不等式的解集是x＜-3.

  方法（2）：把原不等式的两边看做是两个一次函数，在同一坐标系中画出直线y=2x+1与y=3x+4（图3（2）），从图象上可以看出它们的交点的横坐标是x=-3,因此当x＜-3时，对于同一个x的值，直线y=2x+1上的点在直线y=3x+4上相应点的上方，此时有 2x+1＞3x+4,因此不等式的解集是x＜-3。                           Y   y=3x+4

                                                     4       y=2x+1

          Y                                          3

           3                                         2

           2                                         1

         1                                   

   -3 -2 -1  0  1 2 3 x                       -3 -2 -1 0  1  2 3  x

          -1                                        -1

          -2                                        -2

          -3                                        -3 

               Y=-x-3                               -4

                                                    -5

          (1)                                       (2)

                                  图3

  归纳：虽然像上面那样用图象来解方程或不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数，一元一次方程、一元一次不等式之间的联系，能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解，这种函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要。

  当画图象成为一种自觉，成为一种习惯的时候，用图象法解方程，解不等式就很直观、形象，而且对于数学的后续学习很重要，实际上，计算机完全可以代替手工绘制图象，只要输入一个解析式，就可出来一个精确的图象。

问题3：教科书练习1、2题。

答案:1.(1) x=-; (2)x=-5; (3)x＞-; (4) x＜-2.

     2.(1)x=2; (2)x＜2.

作业:习题14.3第3、4题.

教学反思：