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习题教学中数学思想方法的培养
发布者:丁弋发布时间:2017-06-26 08:00:20阅读(1380) 评论(2) 举报
内容摘要:义务教育阶段,对学生进行一定的数学思维的训练、熏陶是有必要的。而反映人与人之间的思维水平的差异,主要是由数学思想方法决定的。本文通过几个教学中的案例,重点就数学思想方法六个方面的培养进行阐述。
关键词:思维 数学思想方法 习题教学 变式教学 一题多解
作为一名数学教师,经常会遇到这样的疑惑:有一部分学生很努力学习,可数学成绩就是上不去,尤其是女生居多。同时你还能发现,在习题课的教学过程中,这些学生也是非常认真听讲,也能听懂。但一旦题目稍稍转个弯,变个方向,他们又不会做或者是出现这样、那样的问题。
众所周之,数学教学是以数学思维为核心的教学,是在活动过程中认识数学的教学。在新课标理念下,数学教学要突出学生的主体地位,引导学生参与数学模型和数学结构的构建,认识数学知识体系的形成过程,强化数学思想建立和发展,才能形成完整的数学思维方法,提高思维能力。假如,在数学教学过程中,没有使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。更没有去培养学生的思维能力,那么出现前面的那种现象也不足为奇。
事实上,关注学生在数学思维能力方面的发展正是新课程先进理念的一个体现。在《数学课程标准》的课程总体目标中有明确的规定:让学生能够初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去解决日常生活中和其他学科学习中的问题,增强应用数学的意识。也就是说我们的数学教学必须使学生学会用数学的思考方式去解决问题、认识世界。虽然“注重提高学生的数学思维能力”是高中数学课程的重要理念之一,但作为学生知识和能力增长过程中不可缺少的义务教育阶段,对学生进行一定思维能力的训练、熏陶和渗透是不容忽视的。
数学思维是人脑和数学对象(数与形等)相互作用并按照一般思维规律认识数学对象本质与规律的过程。人与人的之间的思维发展水平是有差异的,这种差异主要由数学思想方法决定的。事实,数学思想方法就是指思维发生和发展过程中表现出来的个性差异,主要表现在思维的深度、广度、速度、灵活度、抽象度、批判度、创造度。也正由于这种差异性的存在,才会有数学思维能力差异的存在。
美国数学家哈尔莫斯认为,问题是数学的心脏,数学的真正组成部分是问题和解。同样地在整个中学阶段,习题教学占据相当重要的一部分。那么如何在数学习题过程教学中,培养学生的数学思想方法就显得非常之重要。下面我根据自己几个教学实践的例子,来阐述关于习题教学中学生数学思想方法的培养的一点点肤浅想法。
1.拓宽思维视野,培养思维的广阔性
思维的广阔性,又称为思维的发散性,是一种不依常规,寻求变异,从多角度、多方面去思考问题,寻求解答的数学思想方法。培养思维的广阔性要以发散思维为侧重点,通过用不同的方法解决数学问题,诱发和培养学生的广阔思维,达到开发潜能、发展智力,提高能力的目的。为此,教学上,要经常进行一题多解训练。培养思维的发散能力,让思维面宽,思维视角丰富。
案例1:已知如图1在中,,,分别是的中点,则.
分析:从题目的条件看,有直角三角形、中点,还有一个角。不难得出是等边三角形。在从题目的结论来看,本题是证明线段之间度量关系的问题,最常规的方法是证明三角形全等,为此联想到对线段进行一定加工(截、补、转移等手段),来构造出全等三角形。从而有如下的解法1,2,3,4,5;同样地,根据角,如果能想到所对的直角边是斜边的一半,就不难得到解法6;进一步思考,线段之间的倍数关系,不就是相当于线段之间的比例,而线段三角函数值所反映的不就是直角三角形中线段的比例关系吗?这样的话,就不难得到解法7,8。
证法一:如图2,取的中点,连接。易知,从而由,得到。
证法二:如图3,延长至点,使,连接,通过证明,得到。
证法三:如图4,过点作的中位线,则。易知,因而有。
证法四:如图5,过点作交的延长线于点,先通过证明,得到。然后由,得到。
证法五:如图6,过点作交的延长线于点,同样地,可证,得到,
,。
证法六:如图7,作边上的高,由题目条件,不难得到为等边三角形,根据面积变换,。又,。
证法七:将问题做适当的变形,有,于是可直接证明,从而有。
证法八:令,则。
,。
教后反思:本题通过一题多解,不仅开拓学生思维视野,使学生掌握数学的基本知识和基本技能。同时还加强对各个知识点之间的联系和运用,巩固所学知识。对激发学生学习的积极性和对数学的兴趣十分有利。
2.启迪深入剖析,培养思维的深刻性
思维的深刻性是指在分析问题解决问题的过程中,探求所研究问题的实质以及问题之间相互联系的一种数学思想方法。培养学生思维的深刻性,需要引导学生学会自觉地从事物之间的联系中去思考理解事物的本质,深入地认识事物。因此,在教学中,可以从两个方面入手。一是辨析深化概念,使思维深入,理解掌握数学概念的本质内容。二是解题后注意拓宽引伸,使思维活动不轻易停止,养成深入思考的习惯。下面举两个例子来说明:
案例2:解方程 .
分析:的确,这个问题太简单了,仅凭小学有关的逆运算便有:
.
还可以根据教材解方程的步骤,“两边同除以未知数的系数”,有
.
当然,这两个解法的依据都是正确的,结论也完全正确。但是,假如习题就讲到此为止,那实在太可惜了。难道除以0.2不就是乘以5吗?事实上,我们应该借此机会进行点拨:进行上述两个过程的目的是什么?(未知数的系数化为1)其依据是什么?(等式的性质)。那么学生立即就能想到:
解 两边同乘以5,得 .
教后反思:通过对这个题目的认识,学生在求解一元一次方程时就不仅能掌握住解题的“程序”,而且还体会到解方程所蕴涵的数学本质。
案例3:已知:如图8,分别是的边,的中点.求证:
分析:本题对于学生来说,并不难解决。可用三角形全等也可先判断四边形是平行四边形,然后利用平行四边形的性质使得问题得以解决。同样地,本题讲完后,为使学生的思维不轻易停止,在教学过程中做下列的拓宽引导,让学生养成深入思考的习惯。
变式一:如图9,分别是的边,的中点,以图中的点为顶点,尽可能多地画出平形四边形.
变式二:如图10,分别是的边,的中点,交于点,交于点,连接,求证四边形和均为平行四边形.
变式三:如图11,分别是的边,上的点,,求证: .
变式四:如图12,分别是的边,上的点,,求证:.
变式五:如图13,在中,和分别平分和,求证:.
变式六:如图14,在中,于点,于点,求证:.
教后反思:本例对同一个题目进行适当的变形,采用取保留条件,深化结论,或保留结论,变化条件。得到一系列问题,其中还有一个开放性问题(变式一)。这样通过变换数学问题的非本质方面,来突出数学性质的本质属性,对培养学生思维的深刻性大有裨益。
3.辨析对比,培养学生思维的批判性
所谓思维的批判性,就是善于发现问题,提出疑问,辨别是非,评价优劣的一种数学思想方法。批判性的思维是一种事实求是、周密、缜密的思维。为培养学生思维的批判性,在教学中,一方面教师可依据学生解题时出现的“常见病”“多发病”,有的放矢地选编一些颇具迷惑性的题目;另一方面教师可制造一些“教学事故”有意留下一些学生易发生的漏洞,让学生去发现、质疑。潜移默化地培养思维的批判性,使学生养成一种实事求是、求真务实的科学态度。
案例4:已知,等腰的两条边长分别是4、9,则它的周长是多少?
分析:从当时的课堂来看,有相当一部分学生分两种情况来考虑,即当腰长为4时,得周长为17;当腰长为9时,得周长为22。却忽视了“三角形中任何两边之和大于第三边”这一隐含的条件。此时教师问学生:这两种情形都能构成三角形吗?这时,学生突然醒悟,发现有一种情况是不存在的。
案例5:初学函数者普遍感觉到有些不适。原因是函数比较抽象,开始学习起来显得很难,因而难免有些误解。比如认为:1.点的横(纵)坐标=线段的长度;2.有图象=是函数;3.函数图象=示意图;4.函数图象为水平线时=运动停止;5.对函数增减性的本质理解不到位;6.函数=可用一个代数式表示等等问题。事实上,这些问题的出现,反映的就是学生对函数的数学本质没有理解。为此,在教学中可以有意识、有目的地选择有些学生中普遍存在的问题,设计一些问题。使得学生能够充分理解一次函数的本质内容:“刻化两个变量之间的关系”。比如:
1.(2008 四川 广安)下列图形中的曲线不表示是的函数的是( C )
2.(2008 湖南 怀化)如图1,是张老师晚上出门散步时离家的距离与时间之间的函数图象,若用黑点表示张老师家的位置,则张老师散步行走的路线可能是 ( D )
4.引导灵活多变,培养思维的灵活性
所谓思维的灵活性,就是能根据客观条件的变化,不局限于过时或不妥的假设之中,运用已有的知识和经验及时调整思维的方向,寻求新的解决问题的途径和方法的一种数学思想方法。培养思维的灵活性,要培养学生善于进行类比、联想,同时根据具体情况善于进行自我调节的能力。在教学过程中,一方面运用一定类比变式问题,不断训练学生思维的应变能力,适应思维变化的节奏;另一方面加强逆向思维的培养,防止思维的呆板和僵化。
案例6:加强逆向思维的培养,我们知道《整式的乘除》一章,事实上就是对整式一些运算法则的学习,如果在教学过程中过分强调法则的正用,而忽视法则的逆用。这不仅仅对后面因式分解的教学带来负面影响,还会使得学生的思维变得呆板和僵化。这不符合新课程标准的要求。所以,教学中,可根据实际教学的需要设计一些与法则逆向使用有关的题目。比如:1.已知,,求.(结果用表示) 2.利用平方差公式计算:
5.加强分析整理,培养思维的组织性
思维的组织性是指善于将所学的知识归纳整理,使之有条理、有层次、系统化的一种数学思想方法。数学科学的系统性很强,知识的前后联系很密切。教学中应该引导学生将所学知识进行整理、总结,加强对所学知识的理解和巩固,促进学生思维的条理化、系统化,提高解题能力。一方面是有意识地要求学生考虑问题要养成思路清晰的习惯;
案例7:如图17,直线与轴、轴分别交于点,且两点的坐标分别为.
(1)请求出直线的函数解析式;
(2)在直角坐标系中是否存在这样的点,使得为等腰三角形?请求出满足条件的点的坐标(不需要过程),并在坐标系中标出点的大致位置.
分析:题目的第(1)小题并不难解决;第(2)小题在讲解过程中注意引导学生按照等腰三角形的定义分三种情况讨论,即①当为底边时;②为腰且点为顶点时;③为腰点为顶点时三种情况。使得学生的思维有条理,做到不重不漏,潜移默化地培养思维的组织性。
另一方面是有意识地让学生自己动手动脑,把所学的内容进行逻辑的分析综合、分类整理、重新“检索”,编织知识网络,把知识系统化。整理方式有纵向整理、横向整理、对比整理和集中整理等
6.重视解题反思,培养思维的创造性
思维的创造性是指主动地、独创地发现新事物,提出新见解,解决新问题的一种数学思想方法。所表现出来的就是一种与众不同的、突破常规的可贵数学思想方法。有人认为创造性思维多来自顿悟,来自对整个数学问题情景内各种关系的领悟和关键问题的突破发现[4]。鉴于此,在教学过程中应提倡多思多想。比如,在做完一道题,教师应及时抓住某种契机,引导学生通过对解题规律的反思、引申、推广、总结,将所学知识进行纵向加深,横向沟通。充分发挥学生的潜能,培养思维的创造性[5]。
总之,数学习题教学过程中,不但要引导学生学会解题。更重要的是通过变式教学训练,培养学生数学思想方法,充分体现数学学科对培养人所具有的独特性。当然数学数学思想方法的培养提高,是项长期而艰苦的任务,并不是一朝一夕就能够实现的。需要数学教学中处处留心,时时关注,从点滴做起,持之以恒地努力。